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法律研究證明任何正整數的平方都形如 $3m$ 或 $3m+1$，但不能形如 $3m+2$。
已知：陳述“任何正整數的平方都形如 $3m$ 或 $3m+1$，但不能形如 $3m+2$”。
證明：這裡我們需要證明給定的陳述。
解答
根據歐幾里得引理，
如果 $a$ 和 $b$ 是兩個正整數；
- $a\ =\ bq\ +\ r$，其中 $0\ \underline{< }\ r\ <\ b$。
如果 $b\ =\ 3$，則；
- $a\ =\ 3q\ +\ r$，其中 $0\ \underline{< }\ r\ <\ 3$。
- 所以，$r\ =\ 0,\ 1,\ 2$
當，$r\ =\ 0$
$a\ =\ 3q$
兩邊平方，得到:
$a^2\ = (3q)^2$
$a^2\ = 9q^2$
$a^2\ = 3(3q^2)$
$a^2\ = 3m$，其中 $m\ =\ 3q^2$
當，$r\ =\ 1$
$a\ =\ 3q\ +\ 1$
兩邊平方，得到:
$a^2\ = (3q\ +\ 1)^2$
$a^2\ = 9q^2\ +\ 6q\ + 1$
$a^2\ = 3(3q^2\ +\ 2q)\ +\ 1$
$a^2\ = 3m\ +\ 1$，其中 $m\ =\ 3q^2\ +\ 2q$
當，$r\ =\ 2$
$a\ =\ 3q\ +\ 2$
兩邊平方，得到:
$a^2\ = (3q\ +\ 2)^2$
$a^2\ = 9q^2\ +\ 12q\ + 4$
$a^2\ = 9q^2\ +\ 12q\ + 3\ +\ 1$
$a^2\ = 3(3q^2\ +\ 4q\ +\ 1)\ +\ 1$
$a^2\ = 3m\ +\ 1$，其中 $m\ =\ 3q^2\ +\ 4q\ +\ 1$
因此，任何正整數的平方都形如 $3m$ 或 $3m+1$，但不能形如 $3m+2$。
更新於： 2022年10月10日
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