一個正整數的形式為 $3q + 1$，其中 $q$ 是一個自然數。你能否將其平方寫成除 $3m + 1$ 之外的任何形式，即對於某個整數 $m$，寫成 $3m$ 或 $3m + 2$ 的形式？請說明你的答案。

已知： 

形式為 $3q\ +\ 1$ 的正整數。

要求： 

我們必須檢查 $3q\ +\ 1$ 的平方是否以除 $3m+1$ 之外的任何形式存在，對於某個整數 $m$，是否可以寫成 $3m$ 或 $3m+2$ 的形式。

解答

根據歐幾里得引理，

如果 $a$ 和 $b$ 是兩個正整數；

• $a\ =\ bq\ +\ r$，其中 $0\ \underline{< }\ r\ <\ b$。 

如果 $b\ =\ 3$，則；

• $a\ =\ 3q\ +\ r$，其中 $0\ \underline{< }\ r\ <\ 3$。
• 所以，$r\ =\ 0,\ 1,\ 2$

當 $r\ =\ 0$ 時

$a\ =\ 3q$

兩邊平方，得到:

$a^2\ = (3q)^2$

$a^2\ = 9q^2$

$a^2\ = 3(3q^2)$

$a^2\ = 3m$，其中 $m\ =\ 3q^2$

當 $r\ =\ 1$ 時

$a\ =\ 3q\ +\ 1$

兩邊平方，得到:

$a^2\ = (3q\ +\ 1)^2$

$a^2\ = 9q^2\ +\ 6q\ + 1$

$a^2\ = 3(3q^2\ +\ 2q)\ +\ 1$

$a^2\ = 3m\ +\ 1$，其中 $m\ =\ 3q^2\ +\ 2q$

當 $r\ =\ 2$ 時

$a\ =\ 3q\ +\ 2$

兩邊平方，得到:

$a^2\ = (3q\ +\ 2)^2$

$a^2\ = 9q^2\ +\ 12q\ + 4$

$a^2\ = 9q^2\ +\ 12q\ + 3\ +\ 1$

$a^2\ = 3(3q^2\ +\ 4q\ +\ 1)\ +\ 1$

$a^2\ = 3m\ +\ 1$，其中 $m\ =\ 3q^2\ +\ 4q\ +\ 1$

因此，形式為 $3q\ +\ 1$ 的正整數的平方總是以 $3m$ 或 $3m\ +\ 1$ 的形式存在，其中 $m$ 為某個整數。 

教程點

更新於： 2022年10月10日

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