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法學一個正整數的形式為$3q+1$，其中$q$是一個自然數。你能否將其平方寫成除$3m+1$、$3m$或$3m+2$（其中$m$為某個整數）之外的任何形式？請證明你的答案。
已知： 形式為$3q\ +\ 1$的正整數。
證明： 這裡我們要檢查$3q\ +\ 1$的平方是否為除$3m+1$、$3m$或$3m+2$（其中$m$為某個整數）之外的任何形式。
解答
根據歐幾里得引理，
如果$a$和$b$是兩個正整數；
- $a\ =\ bq\ +\ r$，其中$0\ \underline{< }\ r\ <\ b$。
如果$b\ =\ 3$，則；
- $a\ =\ 3q\ +\ r$，其中$0\ \underline{< }\ r\ <\ 3$。
- 所以，$r\ =\ 0,\ 1,\ 2$
當，$r\ =\ 0$
$a\ =\ 3q$
兩邊平方，我們得到:
$a^2\ = (3q)^2$
$a^2\ = 9q^2$
$a^2\ = 3(3q^2)$
$a^2\ = 3m$，其中$m\ =\ 3q^2$
當，$r\ =\ 1$
$a\ =\ 3q\ +\ 1$
兩邊平方，我們得到:
$a^2\ = (3q\ +\ 1)^2$
$a^2\ = 9q^2\ +\ 6q\ + 1$
$a^2\ = 3(3q^2\ +\ 2q)\ +\ 1$
$a^2\ = 3m\ +\ 1$，其中$m\ =\ 3q^2\ +\ 2q$
當，$r\ =\ 2$
$a\ =\ 3q\ +\ 2$
兩邊平方，我們得到:
$a^2\ = (3q\ +\ 2)^2$
$a^2\ = 9q^2\ +\ 12q\ + 4$
$a^2\ = 9q^2\ +\ 12q\ + 3\ +\ 1$
$a^2\ = 3(3q^2\ +\ 4q\ +\ 1)\ +\ 1$
$a^2\ = 3m\ +\ 1$，其中$m\ =\ 3q^2\ +\ 4q\ +\ 1$
因此，形式為$3q\ +\ 1$的正整數的平方總是$3m$或$3m\ +\ 1$的形式，其中$m$為某個整數。
更新於：2022年10月10日
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