證明任何正整數的平方都可以表示為 $4q$ 或 $4q+1$ 的形式，其中 $q$ 是某個整數。

已知：正整數 $q$。

證明：我們必須證明任何正整數的平方都可以表示為 $4q$ 或 $4q+1$ 的形式，其中 '$q$' 是某個整數。

 

根據歐幾里得除法演算法，

如果 $a$ 和 $b$ 是兩個正整數，

$a = bm + r$，其中 $0 \le r < b$

令 $a$ 為正整數，$b$ 等於 4，

$a = 4m + r$，其中 $0 \le r < 4$，

所以，$r = 0, 1, 2, 3$

現在，

當 $r = 0$ 時，

$a = 4m$

兩邊平方，得到:

$a^2 = (4m)^2$

$a^2 = 4(4m^2)$

$a^2 = 4q$，其中 $q = 4m^2$

當 $r = 1$ 時，

$a = 4m + 1$

兩邊平方，得到:

$a^2 = (4m + 1)^2$

$a^2 = 16m^2 + 1 + 8m$

$a^2 = 4(4m^2 + 2m) + 1$

$a^2 = 4q + 1$，其中 $q = 4m^2 + 2m$

當 $r = 2$ 時，

$a = 4m + 2$

兩邊平方，得到:

$a^2 = (4m + 2)^2$

$a^2 = 16m^2 + 4 + 16m$

$a^2 = 4(4m^2 + 4m + 1)$

$a^2 = 4q$，其中 $q = 4m^2 + 4m + 1$

當 $r = 3$ 時，

$a = 4m + 3$

兩邊平方，得到:

$a^2 = (4m + 3)^2$

$a^2 = 16m^2 + 9 + 24m$

$a^2 = 16m^2 + 24m + 8 + 1$

$a^2 = 4(4m^2 + 6m + 2) + 1$

$a^2 = 4q + 1$，其中 $q = 4m^2 + 6m + 2$

因此，任何正整數的平方都可以表示為 4q 或 $4q + 1$ 的形式，其中 $q$ 是某個整數。