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法律研究證明如果一個正整數可以表示為 $6q+5$ 的形式，則它也可以表示為 $3q+2$ 的形式（其中 q 為某個整數），但反之不成立。
已知： 形如 $6q\ +\ 5$ 的正整數。
要證明： 我們需要證明如果一個正整數可以表示為 $6q\ +\ 5$ 的形式，則它也可以表示為 $3q\ +\ 2$ 的形式（其中 q 為某個整數），但反之不成立。
解答
設 $n\ =\ 6q\ +\ 5$，其中 q 為正整數。
我們知道任何正整數都可以表示為 $3k$，$3k\ +\ 1$，$3k\ +\ 2$ 的形式。
現在，
如果 $q\ =\ 3k$，則
$n\ =\ 6(3k)\ +\ 5$
$n\ =\ 18k\ +\ 5$
$n\ =\ 18k\ +\ 3\ +\ 2$
$n\ =\ 3(6k\ +\ 1)\ +\ 2$
$n\ =\ 3m\ +\ 2$
其中 $m\ =\ 6k\ +\ 1$ 且為整數。
如果 $q\ =\ (3k\ +\ 1)$
$n\ =\ 6(3k\ +\ 1)\ +\ 5$
$n\ =\ 18k\ +\ 6\ +\ 5$
$n\ =\ 18k\ +\ 9\ +\ 2$
$n\ =\ 3(6k\ +\ 3)\ +\ 2$
$n\ =\ 3m\ +\ 2$
其中 $m\ =\ 6k\ +\ 3$ 且為整數。
如果 $q\ =\ 3k\ +\ 2$
$n\ =\ 6(3k\ +\ 2)\ +\ 5$
$n\ =\ 18k\ +\ 12\ +\ 5$
$n\ =\ 3(6k\ +\ 5)\ +\ 2$
$n\ =\ 3m\ +\ 2$
其中 $m\ =\ 6k\ +\ 5$ 且為整數。
因此，如果一個正整數可以表示為 $6q\ +\ 5$ 的形式，則它也可以表示為 $3q\ +\ 2$ 的形式。
現在，設 $n\ =\ 3q\ +\ 2$，其中 q 為正整數。
我們知道任何正整數都可以表示為 $6q$，$6q\ +\ 2$，$6q\ +\ 3$，$6q\ +\ 4$，$6q\ +\ 5$ 的形式。
如果 $q\ =\ 6k$，
$n\ =\ 3q\ +\ 2$
$n\ =\ 3(6k)\ +\ 2$
$n\ =\ 18k\ +\ 2$
$n\ =\ 2(9k\ +\ 1)$
$n\ =\ 2m$
這裡我們可以清楚地看到 $3q\ +\ 2$ 不是 $6q\ +\ 5$ 的形式。
因此，可以得出結論，如果一個正整數可以表示為 $6q\ +\ 5$ 的形式，則它也可以表示為 $3q\ +\ 2$ 的形式，但反之不成立。
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