資料結構
網路
關係資料庫管理系統 (RDBMS)
作業系統
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C語言程式設計
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理學
化學
生物學
數學
英語
經濟學
心理學
社會學
服裝設計
法學證明正整數的立方數可以表示為 6q + r 的形式，其中 q 是整數，r = 0, 1, 2, 3, 4, 5，也具有 6m + r 的形式。
已知：命題“正整數的立方數可以表示為 6q + r 的形式，其中 q 是整數，r = 0, 1, 2, 3, 4, 5，也具有 6m + r 的形式”。
待證：我們需要證明上述命題。
解答
根據歐幾里德除法定理：
如果 a 和 b 是兩個正整數；
- a = bq + r，其中 0 ≤ r < b。
如果 b = 6，則：
- a = 6q + r，其中 0 ≤ r < 6。
- 所以，r = 0, 1, 2, 3, 4, 5
當 r = 0 時
a = 6q
兩邊立方，得到:
a³ = (6q)³
a³ = 216q³
a³ = 6(36q³)
a³ = 6m，其中 m = 36q³
當 r = 1 時
a = 6q + 1
兩邊立方，得到:
a³ = (6q + 1)³
a³ = 216q³ + 108q² + 18q + 1
a³ = 6(36q³ + 18q² + 3q) + 1
a³ = 6m + 1，其中 m = 36q³ + 18q² + 3q
當 r = 2 時
a = 6q + 2
兩邊立方，得到:
a³ = (6q + 2)³
a³ = 216q³ + 216q² + 72q + 8
a³ = 216q³ + 216q² + 72q + 6 + 2
a³ = 6(36q³ + 36q² + 12q + 1) + 2
a³ = 6m + 2，其中 m = 36q³ + 36q² + 12q + 1
當 r = 3 時
a = 6q + 3
兩邊立方，得到:
a³ = (6q + 3)³
a³ = 216q³ + 324q² + 162q + 27
a³ = 216q³ + 324q² + 162q + 24 + 3
a³ = 6(36q³ + 54q² + 27q + 4) + 3
a³ = 6m + 3，其中 m = 36q³ + 54q² + 27q + 4
當 r = 4 時
a = 6q + 4
兩邊立方，得到:
a³ = (6q + 4)³
a³ = 216q³ + 432q² + 288q + 64
a³ = 216q³ + 432q² + 288q + 60 + 4
a³ = 6(36q³ + 72q² + 48q + 10) + 4
a³ = 6m + 4，其中 m = 36q³ + 72q² + 48q + 10
當 r = 5 時
a = 6q + 5
兩邊立方，得到:
a³ = (6q + 5)³
a³ = 216q³ + 540q² + 450q + 125
a³ = 216q³ + 540q² + 450q + 120 + 5
a³ = 6(36q³ + 90q² + 75q + 20) + 5
a³ = 6m + 5，其中 m = 36q³ + 90q² + 75q + 20
因此，正整數的立方數可以表示為 6q + r 的形式，其中 q 是整數，r = 0, 1, 2, 3, 4, 5，也具有 6m + r 的形式。
更新於： 2022年10月10日
瀏覽量 50 次
廣告