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法律研究證明$\sqrt5$是無理數。
求解：
我們需要證明$\sqrt5$是無理數。
解答：
我們知道，
如果$p$是一個素數，並且如果$p$整除$a^2$，那麼$p$整除$a$，其中$a$是一個正整數。
現在，
讓我們假設，與之相反，$\sqrt5$是有理數。
因此，我們可以找到整數$a$和$b (≠ 0)$，使得$\sqrt5= \frac{a}{b}$。
其中$a$和$b$互質。
⇒ $(\sqrt5)^2= (\frac{a}{b})^2$
⇒ $5 = \frac{a^{2}}{b^{2}}$
⇒ $5b^2 =a^2$
因此，$5$整除$a^2$
這意味著，
$5$整除$a$。
所以，我們可以寫成$a = 5c$，其中$c$是某個整數。
⇒ $a^2 = 25c^2$
⇒ $5b^2 = 25c^2$ (使用，$5b^2= a^2$)
⇒ $b^2 = 5c^2$
因此，5整除$b^2$。
這意味著，
$5$整除$b$。
因此，$a$和$b$至少有$5$作為公因子。
但這與$a$和$b$除了1之外沒有其他公因子的事實相矛盾。
這種矛盾是由於我們錯誤地假設$\sqrt5$是有理數而產生的。
所以，我們得出結論，$\sqrt5$是無理數。
更新於： 2022年10月10日
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