證明 $\sqrt2 + \sqrt3$ 是無理數。

已知： $\sqrt2\ +\ \sqrt3$

要求： 這裡我們要證明 $\sqrt2\ +\ \sqrt3$ 是一個無理數。

解答

假設，與之相反，$\sqrt2\ +\ \sqrt3$ 是有理數。

因此，我們可以找到整數 a 和 b（$≠$ 0），使得  $\sqrt2\ +\ \sqrt3\ =\ \frac{a}{b}$。

其中 a 和 b 互質。

現在，

$\sqrt2\ +\ \sqrt3\ =\ \frac{a}{b}$

$\sqrt3\ =\ \frac{a}{b}\ -\ \sqrt2$

兩邊平方:

$(\sqrt{3} )^{2} \ =\ \left(\frac{a}{b} \ -\ \sqrt{2}\right)^{2}$

$3\ =\ \left(\frac{a}{b}\right)^{2} \ +\ 2\ -\ 2\sqrt{2}\left(\frac{a}{b}\right)$

$3\ =\ \frac{a^{2}}{b^{2}} \ +\ 2\ -\ 2\sqrt{2}\left(\frac{a}{b}\right)$

$2\sqrt{2}\left(\frac{a}{b}\right) \ =\ \frac{a^{2}}{b^{2}} \ +\ 2\ -\ 3$

$2\sqrt{2}\left(\frac{a}{b}\right) \ =\ \frac{a^{2}}{b^{2}} \ -\ 1$

$2\sqrt{2}\left(\frac{a}{b}\right) \ =\ \frac{a^{2} \ -\ b^{2}}{b^{2}}$

$\sqrt{2} \ =\ \frac{a^{2} \ -\ b^{2}}{b^{2}} \ \times \ \frac{b}{2a}$

$\sqrt{2} \ =\ \frac{a^{2} \ -\ b^{2}}{2ab}$

這裡，$\frac{a^{2} \ -\ b^{2}}{2ab}$ 是一個有理數，但 $\sqrt{2}$ 是一個無理數。

但是，無理數  $≠$  有理數。

這種矛盾是由於我們錯誤地假設 $\sqrt2\ +\ \sqrt3$ 是有理數而產生的。

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更新於： 2022年10月10日

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