根號2為無理數，證明(5 + 3根號2)為無理數。

題目：  5 + 3根號2

目標： 證明 5 + 3根號2 為無理數。

解題

我們進行如下假設， 5 + 3根號2 是有理數。

因此，我們可以找到整數 a 和 b (≠ 0) 使得 5 + 3根號2 = a/b。

其中 a 和 b 是互質數。

那麼，

5 + 3根號2 = a/b

3根號2 = a/b - 5

3根號2 = (a - 5b)/b

根號2 = (a - 5b)/3b

其中，(a - 5b)/3b 是有理數，而根號2 是無理數。 

但是，無理數 ≠ 有理數。

這個矛盾是由我們錯誤地假設 5 + 3根號2 是有理數引起的。

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更新於： 2022 年 10 月 10 日

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