已知$\sqrt{3}$是無理數，證明$\frac{2\ +\ \sqrt{3}}{5}$也是無理數。

已知：$\frac{2\ +\ \sqrt{3}}{5}$

要求：證明$\frac{2\ +\ \sqrt{3}}{5}$是無理數。

解答

我們假設$\frac{2\ +\ \sqrt{3}}{5}$是有理數。

那麼，我們可以找到整數a和b（b≠0），使得$\frac{2\ +\ \sqrt{3}}{5}\ =\ \frac{a}{b}$。

其中a和b互質。

現在，

$\frac{2\ +\ \sqrt{3}}{5}\ =\ \frac{a}{b}$

$2\ +\ \sqrt{3}\ =\ \frac{5a}{b}$

$\sqrt{3}\ =\ \frac{5a}{b}\ -\ 2$

$\sqrt{3}\ =\ \frac{5a\ -\ 2b}{b}$

這裡，$\frac{5a\ -\ 2b}{b}$是有理數，但$\sqrt{3}$是無理數。

但是，無理數≠有理數。

這個矛盾是由於我們錯誤地假設$\frac{2\ +\ \sqrt{3}}{5}$是有理數而引起的。

Tutorialspoint

更新於：2022年10月10日

瀏覽量：1K+

開啟你的職業生涯

完成課程獲得認證

開始學習