證明 $3 + \sqrt{2}$ 是一個無理數。

給定： $3\ +\ \sqrt{2}$

要完成的任務：這裡我們必須證明 $3\ +\ \sqrt{2}$ 是一個無理數。

解

我們反向假設 $3\ +\ \sqrt{2}$ 是有理數。

因此，我們可以找到整數 a 和 b（$≠$ 0），使得  $3\ +\ \sqrt{2}\ =\ \frac{a}{b}$。

其中 a 和 b 為互質數。

現在，

$3\ +\ \sqrt{2}\ =\ \frac{a}{b}$

$\sqrt{2}\ =\ \frac{a}{b}\ -\ 3$

$\sqrt{2}\ =\ \frac{a\ -\ 3b}{b}$

這裡，$\frac{a\ -\ 3b}{b}$ 是一個有理數，而 $\sqrt{2}$ 是一個無理數。 

但是，有理數  $≠$  無理數。

這種矛盾是因為我們錯誤地假設 $3\ +\ \sqrt{2}$ 是有理數。

Tutorialspoint

更新時間：2022 年 10 月 10 日

71 次瀏覽

開啟您的 職業生涯

完成課程獲得認證

開始學習