證明以下數字為無理數。
$6+\sqrt{2}$

已知： $6\ +\ \sqrt{2}$

求解： 這裡我們要證明 $6\ +\ \sqrt{2}$ 是無理數。

解題

我們假設，透過否定，$6\ +\ \sqrt{2}$ 是有理數。

所以，我們可以找到整數 a 和 b ($≠$ 0) 使得  $6\ +\ \sqrt{2}\ =\ \frac{a}{b}$。

其中 a 和 b 互質。

現在，

$6\ +\ \sqrt{2}\ =\ \frac{a}{b}$

$\sqrt{2}\ =\ \frac{a}{b}\ -\ 6$

$\sqrt{2}\ =\ \frac{a\ -\ 6b}{b}$

這裡，$\frac{a\ -\ 6b}{b}$ 是有理數，但 $\sqrt{2}$ 是無理數。 

但是，無理數  $≠$  有理數。

這個矛盾產生於我們錯誤地假設 $6\ +\ \sqrt{2}$ 是有理數。

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更新於：2022-10-10

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