證明 $5 − 2\sqrt{3}$ 是無理數。

已知： $5\ −\ 2\sqrt{3}$

待完成工作： 此處我們必須證明 $5\ −\ 2\sqrt{3}$ 是一個無理數。

解法

反向假設一下，認為 $5\ −\ 2\sqrt{3}$ 是有理數。

所以，我們可以找到整數 a 和 b ($≠$ 0)，使得  $5\ −\ 2\sqrt{3}\ =\ \frac{a}{b}$。

其中 a 和 b 互質。

現在，

$5\ −\ 2\sqrt{3}\ =\ \frac{a}{b}$

$5\ −\ \frac{a}{b}\ =\ 2\sqrt{3}$

$\frac{5b\ -\ a}{b}\ =\ 2\sqrt{3}$

$\frac{5b\ -\ a}{2b}\ =\ \sqrt{3}$

此處，$\frac{5b\ -\ a}{2b}$ 是一個有理數，但 $\sqrt{3}$ 是一個無理數。 

但是，有理數  $≠$  無理數。

由於我們不正確的假設 $5\ −\ 2\sqrt{3}$ 是有理數，才導致了這種矛盾。

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更新時間： 2022 年 10 月 10 日

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