證明 $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ 是無理數。

待辦事項

我們證明 $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ 是無理數。

求解

令 $x=\sqrt{3}+\sqrt{5}$ 是有理數。

兩邊平方，我們得到，

$x^{2}=(\sqrt{3}+\sqrt{5})^{2}$

$x^{2}=3+5+2 \times \sqrt{3} \times \sqrt{5}$

$x^{2}=8+2 \sqrt{15}$

$x^{2}-8=2 \sqrt{15}$

$\Rightarrow \frac{x^{2}-8}{2}=\sqrt{15}$

$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}$ 是有理數。

這意味著，

$\frac{x^{2}-8}{2}$ 應是有理數。

$\Rightarrow \sqrt{15}$ 是有理數。
但這不可能，因為 $\sqrt{15}$ 是無理數。

因此，我們假設 $x=\sqrt{3}+\sqrt{5}$ 是有理數是錯誤的。

因此，$\sqrt{3}+\sqrt{5}$ 是無理數。 

教程點

更新於: 2022 年 10 月 10 日

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