已知 $\sqrt{2}$ 是無理數，證明$( 5+3\sqrt{2})$ 是無理數。

給定： $\sqrt{2}$ 是無理數。

待證明： 證明 $( 5+3\sqrt{2})$ 是無理數。

讓我們假設 $( 5+3\sqrt{2})$ 是有理數。

 那麼存在互素的正整數 a 和 b，使得 

 $5+3\sqrt{2}=\frac{a}{b}$

$\Rightarrow 3\sqrt{2}=\frac{a}{b}-5$

$\Rightarrow \sqrt{2}=\frac{a-5b}{3b}$

$\sqrt{2}$ 是無理數。[ a, b 為整數，$\frac{a-5b}{3b}$ 是有理數]。

這與 $\sqrt{2}$ 是無理數的事實相矛盾。

因此我們的假設不成立。

所以，$5+3\sqrt{2}$ 是無理數。