證明 $4 − 5\sqrt{2}$ 是一個無理數。

已知： $4\ −\ 5\sqrt{2}$

要求： 這裡我們要證明 $4\ −\ 5\sqrt{2}$ 是一個無理數。

解

假設，與之相反，$4\ −\ 5\sqrt{2}$ 是有理數。

因此，我們可以找到整數 a 和 b（$≠$ 0），使得 $4\ −\ 5\sqrt{2}\ =\ \frac{a}{b}$。

其中 a 和 b 互質。

現在，

$4\ −\ 5\sqrt{2}\ =\ \frac{a}{b}$

$4\ -\ \frac{a}{b}\ =\ 5\sqrt{2}$

$\frac{4b\ -\ a}{b}\ =\ 5\sqrt{2}$

$\frac{4b\ -\ a}{5b}\ =\ \sqrt{2}$

這裡，$\frac{4b\ -\ a}{5b}$ 是一個有理數，但 $\sqrt{2}$ 是一個無理數。

但是，有理數 $≠$ 無理數。

這種矛盾是由於我們錯誤地假設 $4\ −\ 5\sqrt{2}$ 是有理數而產生的。

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更新於： 2022年10月10日

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