已知$\sqrt{3}$是無理數，證明$2 + 5\sqrt{3}$是無理數。

已知： $2 + 5\sqrt{3}$

要求： 證明 $2 + 5\sqrt{3}$ 是無理數。

解答

假設，與題設相反，$2 + 5\sqrt{3}$ 是有理數。

那麼，我們可以找到整數 a 和 b（b≠0），使得 $2 + 5\sqrt{3} = \frac{a}{b}$。

其中 a 和 b 互質。

現在，

$2 + 5\sqrt{3} = \frac{a}{b}$

$5\sqrt{3} = \frac{a}{b} - 2$

$5\sqrt{3} = \frac{a - 2b}{b}$

$\sqrt{3} = \frac{a - 2b}{5b}$

這裡，$\frac{a - 2b}{5b}$ 是一個有理數，但是 $\sqrt{3}$ 是無理數。

但是，無理數 ≠ 有理數。

這種矛盾是由於我們錯誤地假設 $2 + 5\sqrt{3}$ 是有理數而產生的。

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更新於：2022年10月10日

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