證明 $2-3\sqrt{5}$ 是個無理數。

已知：數字 $2-3\sqrt{5}$

要證明：已給數字是無理數。

設 $2-3\sqrt{5} =x$ 且 x 為有理數。

$\therefore \ 2-x=3\sqrt{5} ,\ 2-x$ 也將是有理數。

$\therefore \frac{\ ( 2-x)}{3} =\frac{( 3\surd 5)}{3} =\sqrt{5}$ 

 

如果 x 是有理數，則 $2-x$ 也是有理數，且 $\frac{2-x}{3}$ 也應是有理數。

但我們在這裡發現 $\therefore \frac{\ ( 2-x)}{3} =5\ $ 且 $\sqrt{5}$ 永遠不可能是有理數。 

我們的假設 x 是有理數是錯誤的。

因此，已證明 $2-3\sqrt{5}$ 是無理數。