證明$\sqrt{2}$是一個無理數。

已知：數字：$\sqrt{2}$。

需要做：證明給定數字是無理數。

假設$\sqrt{2}$是有理數。

$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$，其中$p$和$q$是互質整數，且

$q =0$

$\Rightarrow \sqrt{2}q=p$

$\Rightarrow 2q^{2}=p^{2}$                                .............$( i)$

$\Rightarrow 2\ 整除\ p^{2}$

$\Rightarrow 2\ 整除\ $p$                               ...............$( A)$

設$p =2c$，其中$c$為某個整數

$p^{2}= 4c^{2}$

$2q^{2}=4c^{2}$

$\Rightarrow q^{2}=2c^{2}$

$\Rightarrow 2\ 整除\ q^{2}$

$\Rightarrow 2\ 整除\ q$                            .................$( B)$

 由$( A)$和$( B)$可知，2是$p$和$q$的公因子。

但這與$p$和$q$除了1之外沒有其他公因子的事實相矛盾。

我們的假設是錯誤的，因此

 $\sqrt{2}$是一個無理數。