證明以下數字無理數
$\frac{2}{\sqrt{7}}$

已知： $\frac{2}{\sqrt{7}}$

求： 這裡必須證明 $\frac{2}{\sqrt{7}}$ 是無理數。

解答

假設，相反，$\frac{2}{\sqrt{7}}$ 是有理數。

所以，我們可以找到整數 a 和 b ($≠$ 0) 使得  $\frac{2}{\sqrt{7}}\ =\ \frac{a}{b}$。

其中 a 和 b 是互質的。

現在，

$\frac{2}{\sqrt{7}}\ =\ \frac{a}{b}$

$\frac{2b}{a}\ =\ \sqrt{7}$

這裡，$\frac{2b}{a}$ 是有理數，但 $\sqrt{7}$ 是無理數。

但是，有理數  $≠$  無理數。

由於我們錯誤地假設 $\frac{2}{\sqrt{7}}$ 是有理數，因此產生了此矛盾。

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更新時間：10-10-2022

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