證明以下數字為無理數。
$\frac{3}{2\sqrt{5}}$

已知： $\frac{3}{2\sqrt{5}}$

待做： 我們需要證明 $\frac{3}{2\sqrt{5}}$ 是無理數。

解

假設，為反證，$\frac{3}{2\sqrt{5}}$ 是有理數。

因此，我們可以找到整數 a 和 b ($≠$ 0)，使得  $\frac{3}{2\sqrt{5}}\ =\ \frac{a}{b}$。

其中 a 和 b 互質。

現在，

$\frac{3}{2\sqrt{5}}\ =\ \frac{a}{b}$

$\frac{3b}{2a}\ =\ \sqrt{5}$

這裡，$\frac{3b}{2a}$ 是有理數，但 $\sqrt{5}$ 是無理數。 

可是，有理數  $≠$  無理數。

這種矛盾是因為我們錯誤地假設 $\frac{3}{2\sqrt{5}}$ 是有理數。

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更新於： 2022 年 10 月 10 日

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