證明以下數字為無理數。
$3-\sqrt{5}$

已知： $3\ -\ \sqrt{5}$

待證明： 這裡我們必須證明 $3\ -\ \sqrt{5}$ 是一個無理數。

解

讓我們反過來假設 $3\ -\ \sqrt{5}$ 是一個有理數。

所以，我們可以找到整數 a 和 b ($≠$ 0) 使得  $3\ -\ \sqrt{5}\ =\ \frac{a}{b}$。

其中 a 和 b 是互質的。

現在，

$3\ -\ \sqrt{5}\ =\ \frac{a}{b}$

$\sqrt{5}\ =\ 3\ -\ \frac{a}{b}$

$\sqrt{5}\ =\ \frac{3b\ -\ a}{b}$

這裡，$\frac{3b\ -\ a}{b}$ 是一個有理數，但 $\sqrt{5}$ 是一個無理數。 

但是，無理數 ≠ 有理數。

由於我們錯誤地假設 $3\ -\ \sqrt{5}$ 是有理數，所以產生了這個矛盾。

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更新於： 10-10-2022

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