證明 $2 − \sqrt{3}$ 是一個無理數。

已知： $2\ −\ \sqrt{3}$

求解： 我們要證明 $2\ −\ \sqrt{3}$ 是一個無理數。

解法

假設，反過來， $2\ −\ \sqrt{3}$ 是有理數。

因此，我們可以找到整數 a 和 b ($≠$ 0) 使得  $2\ −\ \sqrt{3}\ =\ \frac{a}{b}$。

其中，a 和 b 是互質數。

現，

$2\ −\ \sqrt{3}\ =\ \frac{a}{b}$

$2\ -\ \frac{a}{b}\ =\ \sqrt{3}$

$\frac{2b\ -\ a}{b}\ =\ \sqrt{3}$

其中，$\frac{2b\ -\ a}{b}$ 是一個有理數，而 $\sqrt{3}$ 是一個無理數。 

但是，有理數  $≠$  無理數。

此矛盾產生於我們錯誤地假設 $2\ −\ \sqrt{3}$ 是有理數。

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更新於：2022 年 10 月 10 日

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