為什麼$\sqrt{3}$是一個無理數？

已知

給定的數字是 $\sqrt{3}$。

要做的事

我們必須證明，為什麼$\sqrt{3}$是一個無理數。

解答

設 p 為一個素數。如果 p 整除 $a^2$，則 p 整除 a，其中 a 為一個正整數。

現在，

讓我們假設，相反地，$\sqrt{3}$ 是有理數。

所以，我們可以找到整數 a 和 b $(≠ 0)$ 使得 $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$。

其中 a 和 b 互質。

$⇒    (\sqrt{3})^2 = (\frac{a}{b})^2$

$⇒    3= \frac{a^2}{b^2}$

$⇒    3b^2 = a^2$

因此，3 整除 $a^2$。

現在，根據上述陳述，可以得出 3 整除 a。

所以，我們可以寫成 $a = 3c$，其中 c 為某個整數。

$⇒    a^2 = 9c^2$

$⇒    3b^2 = 9c^2$         $(使用, 3b^2 = a^2)$

$⇒    b^2 = 3c^2$

因此，3 整除 $b^2$。

現在，根據上述陳述，可以得出 3 整除 b。

因此，a 和 b 至少有 3 作為公因數。

但這與 a 和 b 之間除了 1 之外沒有其他公因數的事實相矛盾。

這種矛盾是由於我們錯誤地假設 $\sqrt{3}$ 是有理數而產生的。

所以，我們得出結論，$\sqrt{3}$ 是無理數。

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更新於: 2022年10月10日

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