證明 $2\sqrt3 − 1$ 是一個無理數。

已知： $2\sqrt3\ −\ 1$

要求： 這裡我們要證明 $2\sqrt3\ −\ 1$ 是一個無理數。

解答

假設，相反地，$2\sqrt3\ −\ 1$ 是有理數。

因此，我們可以找到整數 a 和 b（$≠$ 0），使得  $2\sqrt3\ −\ 1\ =\ \frac{a}{b}$。

其中 a 和 b 互質。

現在，

$2\sqrt3\ −\ 1\ =\ \frac{a}{b}$

$2\sqrt3\ =\ \frac{a}{b}\ +\ 1$

$2\sqrt3\ =\ \frac{a\ +\ b}{b}$

$\sqrt3\ =\ \frac{a\ +\ b}{2b}$

這裡，$\frac{a\ +\ b}{2b}$ 是一個有理數，但 $\sqrt{3}$ 是一個無理數。

但是，無理數  $≠$  有理數。

這個矛盾是由於我們錯誤地假設 $2\sqrt3\ −\ 1$ 是有理數而產生的。

教程點

更新時間： 2022年10月10日

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