證明$\sqrt5 + \sqrt3$是無理數。

已知：$\sqrt5\ +\ \sqrt3$

要求：這裡我們要證明$\sqrt5\ +\ \sqrt3$是一個無理數。

解答

我們假設，$\sqrt5\ +\ \sqrt3$是有理數。

因此，我們可以找到整數a和b（b≠0），使得$\sqrt5\ +\ \sqrt3\ =\ \frac{a}{b}$。

其中a和b互質。

現在，

$\sqrt5\ +\ \sqrt3\ =\ \frac{a}{b}$

$\sqrt3\ =\ \frac{a}{b}\ -\ \sqrt5$

兩邊平方:

$(\sqrt{3} )^{2} \ =\ \left(\frac{a}{b} \ -\ \sqrt{5}\right)^{2}$

$3\ =\ \left(\frac{a}{b}\right)^{2} \ +\ 5\ -\ 2\sqrt{5}\left(\frac{a}{b}\right)$

$3\ =\ \frac{a^{2}}{b^{2}} \ +\ 5\ -\ 2\sqrt{5}\left(\frac{a}{b}\right)$

$2\sqrt{5}\left(\frac{a}{b}\right) \ =\ \frac{a^{2}}{b^{2}} \ +\ 5\ -\ 3$

$2\sqrt{5}\left(\frac{a}{b}\right) \ =\ \frac{a^{2}}{b^{2}} \ +\ 2$

$2\sqrt{5}\left(\frac{a}{b}\right) \ =\ \frac{a^{2} \ +\ 2b^{2}}{b^{2}}$

$\sqrt{5} \ =\ \frac{a^{2} \ +\ 2b^{2}}{b^{2}} \ \times \ \frac{b}{2a}$

$\sqrt{5} \ =\ \frac{a^{2} \ +\ 2b^{2}}{2ab}$

這裡，$\frac{a^{2} \ +\ 2b^{2}}{2ab}$是有理數，但$\sqrt{5}$是無理數。

但是，有理數≠無理數。

這種矛盾是由於我們錯誤地假設$\sqrt5\ +\ \sqrt3$是有理數而產生的。

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更新於：2022年10月10日

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