證明根號2是無理數。

已知：根號2。

求證： 我們需要證明√2是無理數。

解： 

為了證明這一點，我們首先需要理解定理1.3： 

設𝑝是一個素數。如果𝑝能整除𝑎²，則𝑝能整除𝑎，其中𝑎是一個正整數。

現在，

我們假設，與之相反，√2是是有理數。

因此，我們可以找到整數a和b（≠ 0），使得√2 = $\frac{a}{b}$。

其中a和b互質。

⇒    (√2)2 = $\frac{a}{b}$2

⇒    2 = $\ \frac{a^{2}}{b^{2}}$

⇒    2𝑏2 = 𝑎2

因此，2能整除𝑎2。

現在，根據定理1.3，可以推出2能整除a。

所以，我們可以寫成a = 2c，其中c是某個整數。

⇒    𝑎2 = 4𝑐2

⇒    2𝑏2 = 4𝑐2         (使用，2𝑏2 = 𝑎2)

⇒    𝑏2 = 2𝑐2

因此，2能整除𝑏2。

現在，根據定理1.3，可以推出2能整除b。

因此，a和b至少有2作為公因子。

但這與a和b除了1之外沒有其他公因子的事實相矛盾。

這種矛盾是由於我們錯誤地假設√2是有理數而產生的。

所以，我們得出結論，√2是無理數。

教程點

更新於： 2022年10月10日

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