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法律研究證明$\sqrt3 + \sqrt5$是無理數。
已知：
$\sqrt3\ +\ \sqrt5$
要求：
我們必須證明$\sqrt3\ +\ \sqrt5$ 是一個無理數。
解答
假設，相反地，$\sqrt3\ +\ \sqrt5$ 是有理數。
因此，我們可以找到整數a和b（$≠$ 0），使得 $\sqrt5\ +\ \sqrt3\ =\ \frac{a}{b}$。
其中a和b互質。
現在，
$\sqrt5\ +\ \sqrt3\ =\ \frac{a}{b}$
$\sqrt3\ =\ \frac{a}{b}\ -\ \sqrt5$
兩邊平方:
$(\sqrt{3} )^{2} \ =\ \left(\frac{a}{b} \ -\ \sqrt{5}\right)^{2}$
$3\ =\ \left(\frac{a}{b}\right)^{2} \ +\ 5\ -\ 2\sqrt{5}\left(\frac{a}{b}\right)$
$3\ =\ \frac{a^{2}}{b^{2}} \ +\ 5\ -\ 2\sqrt{5}\left(\frac{a}{b}\right)$
$2\sqrt{5}\left(\frac{a}{b}\right) \ =\ \frac{a^{2}}{b^{2}} \ +\ 5\ -\ 3$
$2\sqrt{5}\left(\frac{a}{b}\right) \ =\ \frac{a^{2}}{b^{2}} \ +\ 2$
$2\sqrt{5}\left(\frac{a}{b}\right) \ =\ \frac{a^{2} \ +\ 2b^{2}}{b^{2}}$
$\sqrt{5} \ =\ \frac{a^{2} \ +\ 2b^{2}}{b^{2}} \ \times \ \frac{b}{2a}$
$\sqrt{5} \ =\ \frac{a^{2} \ +\ 2b^{2}}{2ab}$
這裡，$\frac{a^{2} \ +\ 2b^{2}}{2ab}$是有理數，但$\sqrt{5}$是無理數。
但是，有理數 $≠$ 無理數。
這個矛盾是由於我們錯誤地假設$\sqrt3\ +\ \sqrt5$ 是有理數而產生的。
所以，這證明了$\sqrt3\ +\ \sqrt5$是一個無理數。
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