證明 $3+2 \sqrt5$ 是無理數。

已知: 

$3\ +\ 2\sqrt{5}$

待做: 

在此，我們要證明 $3\ +\ 2\sqrt{5}$ 是無理數。

解題

讓我們反證一下，假設 $3\ +\ 2\sqrt{5}$ 是有理數。

那麼，我們可以找到整數 a 和 b ($≠$ 0)，使得 $3\ +\ 2\sqrt{5}\ =\ \frac{a}{b}$。

其中 a 和 b 是互質的。

現在，

$3\ +\ 2\sqrt{5}\ =\ \frac{a}{b}$

$2\sqrt{5}\ =\ \frac{a}{b}\ -\ 3$

$2\sqrt{5}\ =\ \frac{a\ -\ 3b}{b}$

$\sqrt{5}\ =\ \frac{a\ -\ 3b}{2b}$

則  $\frac{a\ -\ 3b}{2b}$ 是有理數，但 $\sqrt{5}$ 是無理數。 

但是，無理數 $≠$ 有理數。

這種矛盾的出現是因為我們錯誤地假設 $3\ +\ 2\sqrt{5}$ 是有理數。

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更新於: 2022-10-10

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