證明 $3 + 2\sqrt5$ 是無理數。

給定： 

$3\ +\ 2\sqrt{5}$

要做的事情： 

這裡我們必須證明 $3\ +\ 2\sqrt{5}$  是無理數。

解決方案

反之，我們假設 $3\ +\ 2\sqrt{5}$ 是有理數。

因此，我們可以找到整數a和b($≠$ 0)使得 $3\ +\ 2\sqrt{5}\ =\ \frac{a}{b}$。

其中a和b互質。

現在，

$3\ +\ 2\sqrt{5}\ =\ \frac{a}{b}$

$2\sqrt{5}\ =\ \frac{a}{b}\ -\ 3$

$2\sqrt{5}\ =\ \frac{a\ -\ 3b}{b}$

$\sqrt{5}\ =\ \frac{a\ -\ 3b}{2b}$

這裡，$\frac{a\ -\ 3b}{2b}$ 是有理數，而 $\sqrt{5}$ 是無理數。 

但是，無理數 $≠$ 有理數。

由於我們錯誤地假設 $3\ +\ 2\sqrt{5}$ 為有理數，因此出現了這種矛盾。

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更新日期：10-Oct-2022

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