證明√5是無理數

為了證明這一點，我們需要先了解定理 1.3：

設𝑝為一個素數。如果𝑝能整除𝑎2，則𝑝能整除𝑎，其中𝑎是一個正整數。

現在，

讓我們假設，與之相反，√5是是有理數。

因此，我們可以找到整數a和b（≠ 0），使得√5 = 𝑎/𝑏。

其中a和b互質。

⇒    (√5)2 =$\left(\frac{a}{b}\right)^{2}$

⇒    5 = $(\frac{a^{2}}{b^{2}})$ 

⇒    5𝑏2 = 𝑎2

因此，5能整除𝑎2。

現在，根據定理 1.3，可以得出5能整除a。

所以，我們可以寫成a = 5c，其中c為某個整數。

⇒    𝑎2 = 25𝑐2

⇒    5𝑏2 = 25𝑐2         (使用，5𝑏2 = 𝑎2)

⇒    𝑏2 = 5𝑐2

因此，5能整除𝑏2。

現在，根據定理 1.3，可以得出5能整除b。

因此，a和b至少有5作為公因數。

但這與a和b除了1之外沒有其他公因數的事實相矛盾。

這種矛盾是由於我們錯誤地假設√5是有理數而產生的。

所以，我們得出結論，√5是無理數。

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更新於：2022年10月10日

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