已知梯形\( \mathrm{ABCD} \)中，\( \mathrm{AB} \| \mathrm{DC} \)，\( \mathrm{BD} \)為對角線，\( \mathrm{E} \)為\( \mathrm{AD} \)的中點。過E作一條平行於\( \mathrm{AB} \)的直線，交\( \mathrm{BC} \)於\( \mathrm{F} \)（見下圖）。求證：\( \mathrm{F} \)是\( \mathrm{BC} \)的中點。

已知

梯形\( \mathrm{ABCD} \)中，\( \mathrm{AB} \| \mathrm{DC} \)，\( \mathrm{BD} \)為對角線，\( \mathrm{E} \)為\( \mathrm{AD} \)的中點。

過E作一條平行於\( \mathrm{AB} \)的直線，交\( \mathrm{BC} \)於\( \mathrm{F} \)

證明：
我們需要證明\( \mathrm{F} \)是\( \mathrm{BC} \)的中點。

 解答

設\(BD\)與\(EF\)的交點為$P$。

在$\triangle ABD$中，

$EP \| AB$

$E$是$AD$的中點。

我們知道：

三角形一條邊上的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊。

因此：

$P$是$BD$的中點。

在$\triangle BCD$中，

$PF \| CD$

$P$是$BD$的中點。

根據中點定理的逆定理：

$F$是$CB$的中點。

證畢。

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更新於：2022年10月10日

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