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法律研究在下圖中，線段\( \mathrm{DF} \)與三角形\( \mathrm{ABC} \)的邊\( \mathrm{AC} \)相交於點\( \mathrm{E} \)，使得\( \mathrm{E} \)是\( \mathrm{CA} \)的中點，並且\( \angle \mathrm{AEF}=\angle \mathrm{AFE} \)。證明\( \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{CE}} \)
[提示：在\( \mathrm{AB} \)上取一點\( \mathrm{G} \)，使得\( \mathrm{CG} \| \mathrm{DF} \)。]
"
已知
線段\( \mathrm{DF} \)與三角形\( \mathrm{ABC} \)的邊\( \mathrm{AC} \)相交於點\( \mathrm{E} \)，使得\( \mathrm{E} \)是\( \mathrm{CA} \)的中點，並且\( \angle \mathrm{AEF}=\angle \mathrm{AFE} \)。
需要證明
我們需要證明\( \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{CE}} \)
解答
在 $AB$ 上取一點 $G$，使得 $CG \| EF$。
$E$ 是 $CA$ 的中點
這意味著，
$CE=AE$..........(i)
在 $\triangle ACG$ 中，$CG \| EF$
$E$ 是 $CA$ 的中點。
這意味著，
$CE=GF$........(ii)
在 $\triangle BCG$ 和 $\triangle BDF$ 中，$CG \| EF$
根據基本比例定理，我們得到：
$\frac{BC}{CD}=\frac{BG}{GF}$
$\frac{BC}{CD}=\frac{BF-GF}{GF}$
$\frac{BC}{CD}=\frac{BF}{GF}-1$
$\frac{BC}{CD}+1=\frac{BF}{CE}$ [根據 (ii)]
$\frac{BC+CD}{CD}=\frac{BF}{CE}$
$\frac{BD}{CD}=\frac{BF}{CE}$
證畢。
更新於: 2022年10月10日
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