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法律研究在一個梯形\( \mathrm{ABCD} \)中，\( \mathrm{AB} \| \mathrm{DC} \)，對角線\( \mathrm{AC} \)和\( \mathrm{BD} \)相交於點\( \mathrm{O} \)。過點\( \mathrm{O} \)作一條線段\( \mathrm{PQ} \)，且\( \mathrm{PQ} \| \mathrm{AB} \)，分別交\( \mathrm{AD} \)於\( \mathrm{P} \)和\( \mathrm{BC} \)於\( \mathrm{Q} \)。證明\( \mathrm{PO}=\mathrm{QO} \)。
已知
在一個梯形\( \mathrm{ABCD} \)中，\( \mathrm{AB} \| \mathrm{DC} \)，對角線\( \mathrm{AC} \)和\( \mathrm{BD} \)相交於點\( \mathrm{O} \)。過點\( \mathrm{O} \)作一條線段\( \mathrm{PQ} \)，且\( \mathrm{PQ} \| \mathrm{AB} \)，分別交\( \mathrm{AD} \)於\( \mathrm{P} \)和\( \mathrm{BC} \)於\( \mathrm{Q} \)。
要求
我們必須證明\( \mathrm{PO}=\mathrm{QO} \)。
解答
在$\triangle A B D$和$\triangle P O D$中，$P O \| A B$
$\angle D =\angle D$ (公共角)
$\angle A B D =\angle P O D$ (同位角)
因此，根據AA相似性，
$\triangle A B D \sim \triangle P O D$
這意味著，
$\frac{O P}{A B}=\frac{P D}{A D}$........(i)
在$\triangle A B C$和$\triangle O Q C$中，$O Q \| A B$
$\angle C =\angle C$
$\angle B A C =\angle Q O C$ (同位角)
因此，根據AA相似性，
$\triangle A B C \sim \triangle O Q C$
這意味著，
$\frac{O Q}{A B} =\frac{Q C}{B C}$..........(ii)
在$\triangle A D C$中，$O P \| D C$
根據基本比例定理，
$\frac{A P}{P D}=\frac{O A}{O C}$........(iii)
在$\triangle A B C$中，$O Q \| A B$
根據基本比例定理，
$\frac{B Q}{Q C}=\frac{O A}{O C}$..........(iv)
由(iii)和(iv)，我們得到，
$\frac{A P}{P D}=\frac{B Q}{Q C}$
兩邊都加1，我們得到，
$\frac{A P}{P D}+1 =\frac{B Q}{Q C}+1$
$\frac{A P+P D}{P D} =\frac{B Q+Q C}{Q C}$
$\frac{A D}{P D} =\frac{B C}{Q C}$
$\frac{P D}{A D}=\frac{Q C}{B C}$
$\frac{O P}{A B} =\frac{O Q}{B C}$ [由(i)和(ii)]
$\frac{O P}{A B} =\frac{O Q}{A B}$ [由(ii)]
$O P =O Q$
證畢。
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