已知菱形\( \mathrm{ABCD} \)，\( \mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R} \)和\( \mathrm{S} \)分別是邊\( \mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CD} \)和DA的中點。證明四邊形\( \mathrm{PQRS} \)是矩形。

已知

\( \mathrm{ABCD} \)是菱形，\( \mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R} \)和\( \mathrm{S} \)分別是邊\( \mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CD} \)和DA的中點。

需要證明：我們需要證明四邊形\( \mathrm{PQRS} \)是矩形。
 解答

連線$PQ,QR,RS,PS,AC$和$BD$。

在$\triangle DRS$和$\triangle BPQ$中，

$DS = BQ$                 ($\frac{AD}{2}=\frac{BC}{2}$)

$\angle SDR = \angle QBP$         (菱形的對角相等)

$DR = BP$                   ($\frac{CD}{2}=\frac{AB}{2}$)

因此，根據SAS全等定理，我們得到，

$\triangle DRS \cong \triangle BPQ$

這意味著，

$RS = PQ$           (全等三角形對應邊相等)............(i)

$在\triangle CQR$和$\triangle ASP$中，

$RC = PA$           ($\frac{CD}{2}=\frac{AB}{2}$)

$\angle RCQ = \angle PAS$             (菱形的對角)

$CQ = AS$           ($\frac{BC}{2}=\frac{AD}{2}$)

因此，根據SAS全等定理，我們得到，

$\triangle QCR \cong \triangle SAP$

這意味著，

$RQ = SP$         (全等三角形對應邊相等)...............(ii)

在$\triangle CBD$中，

$R$和$Q$分別是$CD$和$BC$的中點。

這意味著，

$QR \| BD$

在$\triangle ABD$中，

$P$和$S$分別是$AD$和$AB$的中點。

這意味著，

$PS \| BD$

因此，

$QR \| PS$............(iii)

由(i)，(ii)和(iii)，我們得到，

$PQRS$是平行四邊形。

$AB$是一條直線。

$\angle APS + \angle SPQ + \angle QPB = 180^o$

$BC$是一條直線。

$\angle PQB + \angle PQR + \angle CQR = 180^o$

$\angle APS + \angle SPQ + \angle QPB = \angle PQB + \angle PQR + \angle CQR$

$\angle APS + \angle SPQ + \angle QPB = \angle QPB + \angle PQR + \angle APS$

$\angle SPQ = \angle PQR$

$\angle SPQ + \angle PQR = 180^o$        (平行四邊形的鄰角互補)

$2\angle PQR = 180^o$

$PQR = 90^o$

在$PQRS$中，

$RS = PQ$

$RQ = SP$

$\angle Q = 90^o$

因此，

$PQRS$是矩形。

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更新於: 2022年10月10日

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