在平行四邊形\( \mathrm{ABCD} \)中，\( \mathrm{E} \)和\( \mathrm{F} \)分別是邊\( \mathrm{AB} \)和\( \mathrm{CD} \)的中點（見下圖）。證明線段AF和\( \mathrm{EC} \)三等分對角線BD。
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已知

在平行四邊形\( \mathrm{ABCD} \)中，\( \mathrm{E} \)和\( \mathrm{F} \)分別是邊\( \mathrm{AB} \)和\( \mathrm{CD} \)的中點。

需要證明：
我們需要證明線段$AF$和\( \mathrm{EC} \)三等分對角線$BD$。

 解答

$A B C D$是一個平行四邊形。

我們知道，

平行四邊形的對邊相等且平行。

這意味著，

$A B \| D C$

$A B=D C$

$\Rightarrow A E \| F C$

$\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} D C$

$\Rightarrow \mathrm{AE} \| \mathrm{FC}$

$\mathrm{AE}=\mathrm{FC}$

因此，

$AECF$是一個平行四邊形。

這意味著，

$\mathrm{AF} \| \mathrm{EC}$

$\Rightarrow \mathrm{EQ} \| \mathrm{AP}$ 且 $\mathrm{FP} \| \mathrm{CQ}$

在$\triangle B A P$中，

$E$是$A B$的中點，且$E Q \| A P$。

根據中點定理的逆定理，

$Q$是$B P$的中點。

這意味著，

$\mathrm{BQ}=\mathrm{PQ}$...........(i)

在$\triangle D Q C$中，

$F$是$D C$的中點

$F P \| C Q$

根據中點定理的逆定理，

$P$是$D Q$的中點。

因此，

$\mathrm{PQ}=\mathrm{DP}$........(ii)

由(i)和(ii)可得，

$B Q=P Q=P D$

因此，$CE$和$AF$三等分對角線$BD$。

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更新於： 2022年10月10日

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