平行四邊形ABCD的對角線AC平分∠A（見下圖）。證明：
(i) 它也平分∠C；
(ii) ABCD是菱形。
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已知：

平行四邊形(ABCD)的對角線(AC)平分∠A。

要求

我們需要證明

(i) 它也平分∠C。

(ii) ABCD是菱形。

解答

(i) 這裡，ABCD是一個平行四邊形，對角線AC平分∠A。

∴ ∠DAC=∠BAC      ...... (1)

現在，

AB∥DC，AC為截線，

∴ ∠BAC=∠DCA          [ 內錯角 ]  ...... (2)

AD∥BC，AC為截線，

∴ ∠DAC=∠BCA         [ 內錯角 ]   .......(3)

由(1)、(2)和(3)

∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA

∴ ∠DCA=∠BCA

因此，AC平分∠C。

(ii) 在△ABC中，

⇒ ∠BAC=∠BCA      [ 上述已證]

⇒ BC=AB      [ 等角對等邊]   ...... (1)

此外，AB=CD且AD=BC  [ 平行四邊形的對邊相等]  .. (2)

由(1)和(2)，

⇒ AB=BC=CD=DA

因此，ABCD是菱形。

教程點

更新於： 2022年10月10日

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