已知矩形ABCD中，對角線AC平分∠A和∠C。求證：
(i) ABCD是正方形
(ii) 對角線BD平分∠B和∠D。

已知

ABCD是一個矩形，對角線AC平分∠A和∠C。

求證

我們需要證明：

(i) ABCD是正方形

(ii) 對角線BD平分∠B和∠D。

解答

(i) 當所有邊都相等時，正方形是矩形。

在上圖中，AC平分∠A和∠C。

因此，

∠DAC = ∠BAC............(i)

∠DCA = ∠BCA............(ii)

在矩形中，對邊平行。

所以，AD ∥ BC

AC是截線。

因此，

∠DAC = ∠BCA...........(iii) [內錯角]

由(i)和(iii)，

∠BCA = ∠BAC..........(iv)

在△ABC中，

∠BCA = ∠BAC

所以，AB = BC...........(v)

我們已知，

在矩形ABCD中，AB = CD, BC = DA.............(vi)

由(v)和(vi)，

AB = BC = CD = DA。

因此，ABCD是正方形。

(ii) ABCD是正方形，

正方形的對角線平分其角。

因此，對角線BD平分∠B和∠D。

證畢。 

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更新於：2022年10月10日

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