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法律研究ABCD是一個矩形，其中對角線AC平分∠A和∠C。證明：(i) ABCD是正方形 (ii) 對角線BD平分∠B和∠D。
已知
$ABCD$是一個矩形，其中對角線$AC$平分∠A和∠C。
要求
我們需要證明
(i) $ABCD$是正方形
(ii) 對角線$BD$平分∠B和∠D。
解答
(i) 當所有邊都相等時，正方形是矩形。
在上圖中，$AC$平分∠A和∠C。
因此，
$\angle DAC = \angle BAC$............(i)
$\angle DCA = \angle BCA$............(ii)
在矩形中，對邊平行。
所以，$AD \parallel BC$
$AC$是截線。
因此，
$\angle DAC = \angle BCA$...........(iii) [內錯角]
由(i)和(iii)，
$\angle BCA = \angle BAC$..........(iv)
在$\Delta ABC$中，
$\angle BCA = \angle BAC$
所以，$AB = BC$...........(v)
我們已經知道，
在矩形$ABCD$中，$AB = CD, BC = DA$.............(vi)
由(v)和(vi)，
$AB = BC = CD = DA$。
因此，$ABCD$是正方形。
(ii) $ABCD$是正方形，
正方形的對角線平分其角。
因此，對角線$BD$平分∠B和∠D。
證畢。
更新於： 2022年10月10日
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