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法律研究在三角形\( \mathrm{ABC} \)中，\( \mathrm{XY} \)是一條平行於邊\( \mathrm{BC} \)的直線。如果\( \mathrm{BE} \| \mathrm{AC} \)和\( \mathrm{CF} \| \mathrm{AB} \)分別與\( \mathrm{XY} \)交於\( \mathrm{E} \)和\( F \)，證明\( \operatorname{ar}(\mathrm{ABE})=\operatorname{ar}(\mathrm{ACF}) \)。
已知
\( \mathrm{XY} \)是一條平行於三角形\( \mathrm{ABC} \)邊\( \mathrm{BC} \)的直線。
\( \mathrm{BE} \| \mathrm{AC} \)和\( \mathrm{CF} \| \mathrm{AB} \)分別與\( \mathrm{XY} \)交於\( \mathrm{E} \)和\( F \)。
要求
我們需要證明\( \operatorname{ar}(\mathrm{ABE})=\operatorname{ar}(\mathrm{ACF}) \)。
解答
$BE \| AC$
這意味著，
$BE \| CY$
$CF \| AB$
這意味著，
$CF \| XB$
$XY \| BC$ 且 $CY \| BE$
因此，
$EYCB$ 是一個平行四邊形。
$\triangle \mathrm{ABE}$ 和平行四邊形 $EYCB$ 共底 $BE$，且位於平行線 $BE$ 和 $AC$ 之間。
這意味著，
$ar(\triangle \mathrm{ABE})=\frac{1}{2} ar(\mathrm{EYCB})$........(i)
$C F \| A B$ 且 $X F \| B C$
這意味著，
$BCFX$ 是一個平行四邊形。
$\triangle \mathrm{ACF}$ 和平行四邊形 $BCFX$ 共底 $CF$，且位於平行線 $AB$ 和 $CF$ 之間。
因此，
$ar(\triangle \mathrm{ACF})=\frac{1}{2}ar(\mathrm{BCFX})$..........(ii)
平行四邊形 $BCFX$ 和平行四邊形 $BCYE$ 共底 $BC$，且
位於平行線 $\mathrm{BC}$ 和 $\mathrm{EF}$ 之間。
因此，
$\operatorname{ar}(\mathrm{BCFX})=\operatorname{ar}(BCYE)$..........(iii)
由 (i)、(ii) 和 (iii)，我們得到，
$\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ABE})=\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ACF})$
證畢。
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