資料結構
網路
關係資料庫管理系統
作業系統
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C 語言程式設計
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理
化學
生物
數學
英語
經濟學
心理學
社會學
服裝設計
法律研究如圖所示，\( \mathrm{ABC} \) 和 \( \mathrm{BDE} \) 是兩個等邊三角形，且 \( \mathrm{D} \) 是 \( \mathrm{BC} \) 的中點。如果 \( \mathrm{AE} \) 與 \( \mathrm{BC} \) 相交於 \( \mathrm{F} \)，證明：
(i) \( \operatorname{ar}(\mathrm{BDE})=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\mathrm{ABC}) \)
(ii) \( \operatorname{ar}(\mathrm{BDE})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\mathrm{BAE}) \)
(iii) \( \operatorname{ar}(\mathrm{ABC})=2 \) ar \( (\mathrm{BEC}) \)
(iv) \( \operatorname{ar}(\mathrm{BFE})=\operatorname{ar}(\mathrm{AFD}) \)
(v) \( \operatorname{ar}(\mathrm{BFE})=2 \operatorname{ar}(\mathrm{FED}) \)
(vi) \( \operatorname{ar}(\mathrm{FED})=\frac{1}{8} \operatorname{ar}(\mathrm{AFC}) \)
[提示：連線 \( \mathrm{EC} \) 和 \( \mathrm{AD} \)。證明 \( \mathrm{BE} \| \mathrm{AC} \) 和 \( \mathrm{DE} \| \mathrm{AB} \)
已知
\( \mathrm{ABC} \) 和 \( \mathrm{BDE} \) 是兩個等邊三角形，且 \( \mathrm{D} \) 是 \( \mathrm{BC} \) 的中點。
\( \mathrm{AE} \) 與 \( \mathrm{BC} \) 相交
要求
我們需要證明：
(i) \( \operatorname{ar}(\mathrm{BDE})=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\mathrm{ABC}) \)
(ii) \( \operatorname{ar}(\mathrm{BDE})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\mathrm{BAE}) \)
(iii) \( \operatorname{ar}(\mathrm{ABC})=2 \) ar \( (\mathrm{BEC}) \)
(iv) \( \operatorname{ar}(\mathrm{BFE})=\operatorname{ar}(\mathrm{AFD}) \)
(v) \( \operatorname{ar}(\mathrm{BFE})=2 \operatorname{ar}(\mathrm{FED}) \)
(vi) \( \operatorname{ar}(\mathrm{FED})=\frac{1}{8} \operatorname{ar}(\mathrm{AFC}) \)
解答
連線 \( \mathrm{EC} \) 和 \( \mathrm{AD} \)
設 $G$ 和 $H$ 分別是邊 $AB$ 和 $AC$ 的中點。
連線 $G$ 和 $H$。
$GH$ 平行於 $BC$。
這意味著，根據中點定理，
$GH=\frac{1}{2}BC$
$GH=BD=DC$
類似地，
$GD = AH = CH$
$DH = AG = BG$
這意味著，
$\triangle ABC$ 被分成四個相等的等邊三角形 $\triangle BGD, \triangle AGH, \triangle DHC$ 和 $\triangle GHD$
因此，
$\triangle BGD=\frac{1}{4}\triangle ABC$
在 $\triangle BDG$ 和 $\triangle BDE$ 中
$BG=BE$
$BD=BD$
$DG=DE$
因此，根據 SSS 全等，
$\triangle BDG \cong \triangle BDE$
這意味著，
$ar(\triangle BDG)=ar(\triangle BDE)$
$ar(\triangle BDE)=\frac{1}{4}ar(\triangle ABC)$
(ii)
$\triangle BDE$ 和 $\triangle AED$ 有公共底邊 $DE$，且 $DE \| AB$
這意味著，
$ar(\triangle BDE) = ar(\triangle AED)$
$ar(\triangle BDE)−ar(\triangle FED) = ar(\triangle AED)−ar (\triangle FED)$
$ar(\triangle BEF) = ar(\triangle AFD)$.......…(i)
$ar(\triangle ABD) = ar(\triangle ABF)+ar(\triangle AFD)$
$ar(\triangle ABD) = ar(\triangle ABF)+ar(\triangle BEF)$ [由 (i) 得]
$ar(\triangle ABD) = ar(\triangle ABE)$........…(ii)
$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中線。
這意味著，
$ar(\triangle ABD) =\frac{1}{2}ar (\triangle ABC)$
$= 4\times[\frac{1}{2}ar (\triangle BDE)]$
$= 2 ar(ΔBDE)$.......…(iii)
由 (ii) 和 (iii) 得，
$2 ar (\triangle BDE) = ar (\triangle ABE)$
$ar (\triangle BDE) =\frac{1}{2} ar (\triangle BAE)$
(iii) $\triangle ABE$ 和 $\triangle BEC$ 有公共底邊 $BE$，且 $BE \| AC$
這意味著，
$ar(\triangle ABE) = ar(\triangle BEC)$
$ar(\triangle ABF) + ar(\triangle BEF) = ar(\triangle BEC)$
$ar(\triangle ABF) + ar(\triangle AFD) = ar(\triangle BEC)$ [由 (i) 得]
$ar(\triangle ABD) = ar(\triangle BEC)$
$\frac{1}{2}ar(\triangle ABC) = ar(\triangle BEC)$
$ar(\triangle ABC) = 2 ar(\triangle BEC)$
(iv) $\triangle BDE$ 和 $\triangle AED$ 在同一底邊 $DE$ 上，且在平行線 $DE$ 和 $AB$ 之間。
這意味著，
$ar (\triangle BDE) = ar (\triangle AED)$
從兩邊減去 $ar(\triangle FED)$，得到：
$ar (\triangle BDE)−ar (\triangle FED) = ar (\triangle AED)−ar (\triangle FED)$
$ar (\triangle BFE) = ar(\triangle AFD)$
(v) 設 $h$ 為 $\triangle BDE$ 中從 $E$ 到邊 $BD$ 的高，$H$ 為 $\triangle ABC$ 中從 $A$ 到邊 $BC$ 的高。
$ar (\triangle BDE) = \frac{1}{4}ar (\triangle ABC)$ (已證明)
$ar (\triangle BFE) = ar (\triangle AFD)$ (已證明)
$ar (\triangle BFE) = ar (\triangle AFD)$
$ar(\triangle BFE)= 2 ar (\triangle FED)$
(vi) $ar (\triangle AFC) = ar (\triangle AFD) + ar(\triangle ADC)$
$= 2 ar (\triangle FED) + \frac{1}{2}ar(\triangle ABC)$
$= 2 ar (\triangle FED) +\frac{1}{2}[4ar(\triangle BDE)]$
$= 2 ar (\triangle FED) +2 ar(\triangle BDE)$
$\triangle BDE$ 和 $\triangle AED$ 在同一底邊上，且在相同的平行線之間$
$= 2 ar (\triangle FED) +2 ar (\triangle AED)$
$= 2 ar (\triangle FED) +2 [ar (\triangle AFD) +ar (\triangle FED)]$
$= 2 ar (\triangle FED) +2 ar (\triangle AFD) +2 ar (\triangle FED)$
$= 4 ar (\triangle FED) +4 ar (\triangle FED)$
$ar (\triangle AFC) = 8 ar (\triangle FED)$
$ar (\triangle FED) = \frac{1}{8}ar (\triangle AFC)$
證畢。
66 次檢視
