在下圖中，四邊形ABCD的對角線AC和BD相交於O。
如果AB=CD，則證明
(i) ar(DOC)=ar(AOB)
(ii) ar(DCB)=ar(ACB)
(iii) DA∥CB或ABCD是平行四邊形。
[提示：從D和B分別向AC作垂線。]
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已知

在四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交於O，使得OB=OD。

AB = CD。

要求

我們必須證明

(i) ar(DOC)=ar(AOB)
(ii) ar(DCB)=ar(ACB)
(iii) DA∥CB或ABCD是平行四邊形。

解答

作DP⊥AC和BQ⊥AC。

(i) 在△DOP和△BOQ中，

∠DPO = ∠BQO=90°

∠DOP = ∠BOQ（對頂角）

OD = OB（已知）

因此，根據AAS全等

△DOP ≅ △BOQ

這意味著，

DP = BQ----(i)（CPCT）

ar(DOP) = ar(BOQ)----(ii)（因為全等三角形的面積相等）

在△CDP和△ABQ中，

∠CPD = ∠AQB=90°

CD = AB（已知）

DP = BQ [來自公式(i)]

因此，根據RHS全等

△CDP ≅ △ABQ

這意味著，

ar(CDP) = ar(ABQ)...........(iii)（因為全等三角形的面積相等）

將公式(ii)和(iii)相加，我們得到，

ar(DOP) + ar(CDP) = ar(BOQ) + ar(ABQ)

ar (DOC) = ar (AOB)

(ii) ar (DOC) = ar (AOB)

這意味著，

ar (DOC) + ar (BOC) = ar (AOB) + ar (BOC) [兩邊加上ar (BOC)]

ar(DCB) = ar (ACB)

(iii) △DCB和△ACB的面積相等，且具有相同的底邊。

這意味著，

△DCB和△ACB必須位於相同的平行線之間。

因此，

DA ∥ CB

ar(DOP) = ar(BOQ)

這意味著，

∠OBQ = ∠PDO…(iv)

ar(CDP) = ar(ABQ)

這意味著，

∠ABQ= ∠CDP….....(v)

將(iv)和(v)相加，我們得到，

∠OBQ+∠ABQ = ∠CDP + ∠PDO

∠ABO=∠CDO

∠CDB= ∠ABD

這意味著，

CD ∥ AB

因此，ABCD是平行四邊形。