四邊形ABCD的對角線AC和BD相交於點P。證明ar(APB) × ar(CPD) = ar(APD) × ar(BPC)。
[提示：從A和C分別向BD作垂線。]

已知

四邊形ABCD的對角線AC和BD相交於點P。

要求

我們必須證明ar(APB) × ar(CPD) = ar(APD) × ar(BPC)。

解答

作AM垂直於BD，CN垂直於BD

ar(△ABP) = 1/2 × BP × AM…………..(i)

ar(△APD) = 1/2 × DP × AM…………..(ii)

將(ii)除以(i)，得到：

ar(△APD)/ar(△ABP) = (1/2 × DP × AM) / (1/2 × BP × AM)

ar(APD)/ar(ABP) = DP/BP…….....(iii)

類似地，

ar(CDP)/ar(BPC) = DP/BP……. (iv)

由(iii)和(iv)，得到：

ar(APD)/ar(ABP) = ar(CDP)/ar(BPC)

ar(APD) × ar(BPC) = ar(ABP) × ar(CDP)

證畢。

教程點

更新於: 2022年10月10日

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