求解下列二次多項式的零點，並驗證零點與其係數之間的關係
$g(x)\ =\ a(x^2\ +\ 1)\ –\ x(a^2\ +\ 1)$

已知


$g(x) = a(x^2+1) – x(a^2+1)$

求解

這裡，我們需要求解 g(x) 的零點。

解答

為了求解 g(x) 的零點，我們需要令 $g(x)=0$。

這意味著，

$a(x^2+1) – x(a^2+1)= 0$

$ax^2+a-a^2x-x= 0$

$ax(x-a)-1(x-a)= 0$

$(ax-1)(x -a) = 0$

$ax-1=0$ 且 $x-a=0$

$ax = 1$ 且 $x = a$

$x=\frac{1}{a}$ 且 $x=a$

因此，二次方程 $g(x) = a(x^2+1) – x(a^2+1)$ 的零點是 $\frac{1}{a}$ 和 $a$。

驗證

我們知道，
零點之和 $= -\frac{x的係數}{x^2的係數}$

                       $= –(\frac{-(a^2+1)}{a})$

                       $=\frac{a^2+1}{a}$

$g(x)$ 的零點之和為 $a+\frac{1}{a}=\frac{a^2+1}{a}$ 

根的積 $= \frac{常數項}{x^2的係數}$

                            $=\frac{a}{a}$

                            $= 1$

$g(x)$ 的根的積為 $\frac{1}{a}\times a =1$

因此，零點與其係數之間的關係得到驗證。

更新時間： 2022年10月10日

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