求解下列二次多項式的零點,並驗證零點與其係數之間的關係
$q(y)\ =\ 7y^{2} \ –\ \left(\frac{11}{3}\right) y\ –\ \frac{2}{3}$
已知
$q(y) = 7y^2-(\frac{11}{3})y-\frac{2}{3}$
求解
這裡,我們需要求解 q(y) 的零點。
解
為了求解 q(y) 的零點,我們需要令 $q(y)=0$。
這意味著,
$7y^2-(\frac{11}{3})y-\frac{2}{3}= 0$
兩邊乘以 3,
$3(7y^2)-3(\frac{11}{3})y-3(\frac{2}{3})= 0$
$21y^2-11y-2= 0$
$21y^2-14y+3y-2= 0$
$7y(3y-2) +1(3y-2) =0$
$(7y+1) (3y-2) =0$
$7y+1=0$ 且 $3y-2=0$
$7y= -1$ 且 $3y= 2$
$y=-\frac{1}{7}$ 且 $y=\frac{2}{3}$
因此,二次方程 $q(y) = 7y^2-(\frac{11}{3})y-\frac{2}{3}$ 的零點為 $-\frac{1}{7}$ 和 $\frac{2}{3}$。
驗證
我們知道,
零點之和 $= -\frac{y 的係數}{y^2 的係數}$
$= –(\frac{\frac{-11}{3}}{7})$
$=\frac{11}{21}$
$q(y)$ 的零點之和為 $-\frac{1}{7}+\frac{2}{3}=\frac{-1\times3+2\times7}{21}=\frac{-3+14}{21}=\frac{11}{21}$
根的積 $= \frac{常數項}{y^2 的係數}$
$=\frac{\frac{-2}{3}}{7}$
$= -\frac{2}{21}$
$q(y)$ 的根的積為 $-\frac{1}{7}\times \frac{2}{3} =-\frac{2}{21}$
因此,零點與其係數之間的關係得到驗證。
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