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法律求解以下二次多項式的零點，並驗證零點與其係數之間的關係
$f(x)\ =\ x^2\ –\ (\sqrt{3}\ +\ 1)x\ +\ \sqrt{3}$
已知
$f(x) = x^2 – (\sqrt{3}+1)x +\sqrt{3}$
求解
這裡，我們需要求出 f(x) 的零點。
解
為了求出 f(x) 的零點，我們需要令 $f(x)=0$。
這意味著，
$x^2 – (\sqrt{3}+1)x +\sqrt{3}= 0$
$x^2 – \sqrt{3}x - (1)x +\sqrt{3}= 0$
$x(x – \sqrt{3}) -1(x – \sqrt{3}) = 0$
$(x – \sqrt{3})(x -1) = 0$
$x-\sqrt{3}=0$ 且 $x-1=0$
$x = \sqrt{3}$ 且 $x = 1$
因此，二次方程 $f(x) = x^2 –(\sqrt{3}+1)x +\sqrt{3}$ 的零點是 $\sqrt{3}$ 和 $1$。
驗證
我們知道，
零點之和 $= -\frac{x 的係數}{x^2 的係數}$
$= –(\frac{-(\sqrt{3}+1)}{1})$
$=\sqrt{3}+1$
$f(x)$ 的零點之和為 $\sqrt{3}+1$
根的積 $= \frac{常數項}{x^2 的係數}$
$= \frac{\sqrt{3}}{1}$
$= \sqrt{3}$
$f(x)$ 的根的積為 $\sqrt{3}\times1 =\sqrt{3}$
因此，零點與其係數之間的關係得到驗證。
更新時間： 2022年10月10日
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