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法律研究驗證以下三次多項式給出的數字是否為其零點。同時，驗證零點與係數之間的關係
$f(x)\ =\ 2x^3\ +\ x^2\ –\ 5x\ +\ 2;\ \frac{1}{2},\ 1,\ -2$
已知
$f(x) = 2x^3 + x^2– 5x + 2$
要求
我們必須檢查 $\frac{1}{2}, 1, -2$ 是否是給定三次多項式的零點。
解答
我們知道，
三次多項式的標準形式為 $ax^3+bx^2+cx+d$，其中 a、b、c 和 d 是常數，且 $a≠0$。
將給定多項式與三次多項式的標準形式進行比較，
$a=2$，$b=1$，$c=-5$ 和 $d=2$
此外，
如果 α 是給定多項式 $f(x)$ 的一個根，則 $f(α)=0$。
因此，
對於 $x = \frac{1}{2}$
$f(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^2 – 5(\frac{1}{2}) + 2$
$= 2(\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} – 5(\frac{1}{2})+ 2 = 0$
$=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{5}{2}+2$
$=\frac{5}{2}-\frac{5}{2}$
$=0$
$f(\frac{1}{2}) = 0$，這意味著 $x = \frac{1}{2}$ 是給定多項式的根。
對於 $x = 1$
$f(1) = 2(1)^3 + (1)^2 – 5(1) + 2$
$= 2 + 1 – 5 + 2$
$= 0$
$f(1) = 0$，這意味著 $x = 1$ 也是給定多項式的根。
對於 $x = -2$
$f(-2) = 2(-2)^3 + (-2)^2 – 5(-2) + 2$
$= -16 + 4 + 10 + 2$
$= 0$
$f(-2) = 0$，這意味著 $x = -2$ 也是給定多項式的根。
現在，
零點之和 $= \frac{-b}{a}=\frac{-1}{2}$。
$f(x)$ 的零點之和 $=\frac{1}{2} + 1 – 2 = – \frac{1}{2}$
兩兩相乘的零點之和 $=\frac{c}{a}=\frac{-5}{2}$。
兩兩相乘的零點之和$=(\frac{1}{2} \times 1) + (1 \times -2) + (\frac{1}{2} \times-2) = \frac{-5}{ 2}$。
零點之積 $= \frac{– d}{a}=\frac{-2}{2}=-1$。
零點之積$=\frac{}{2} \times 1 \times (– 2) = -1$。
因此，零點與係數之間的關係得到驗證。
更新於： 2022 年 10 月 10 日
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