求解下列二次多項式的零點，並驗證零點與其係數之間的關係

$q(x)\ =\ \sqrt{3}x^2\ +\ 10x\ +\ 7\sqrt{3}$

$f(x) = \sqrt{3}x^2 + 10x + 7\sqrt{3}$

這裡，我們需要求解 f(x) 的零點。

為了求解 f(x) 的零點，我們需要令 $f(x)=0$。

這意味著：

$\sqrt{3}x^2 + 10x + 7\sqrt{3}= 0$

$\sqrt{3}x^2 + 7x + 3x + 7\sqrt{3} = 0$

$\sqrt{3}x(x + \sqrt{3}) + 7(x + \sqrt{3}) = 0$

$(x + \sqrt{3})(\sqrt{3}x + 7) = 0$

$x+\sqrt{3}=0$ 且 $\sqrt{3}x+7=0$

$x = -\sqrt{3}$ 且 $\sqrt{3}x = -7$

$x = -\sqrt{3}$ 且 $x=\frac{-7}{\sqrt{3}}$

因此，二次方程 $f(x) = \sqrt{3}x^2 + 10x + 7\sqrt{3}$ 的零點為 $-\sqrt{3}$ 和 $\frac{-7}{\sqrt{3}}$。

驗證

我們知道：

零點之和 $= -\frac{x 係數}{x^2 係數}$

                       $= –\frac{10}{\sqrt{3}}$

f(x) 的零點之和 $=-\sqrt{3}+(\frac{-7}{\sqrt{3}})=\frac{-\sqrt{3}\times\sqrt{3}+(-7)}{\sqrt{3}}=\frac{-3-7}{\sqrt{3}}=\frac{-10}{\sqrt{3}}$

根的乘積 $= \frac{常數項}{x^2 係數}$

                            $= \frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

                            $= 7$

f(x) 的根的乘積 $=-\sqrt{3}\times\frac{-7}{\sqrt{3}}=7$

因此，零點與其係數之間的關係得到驗證。