求下列二次多項式的零點，並驗證零點與其係數之間的關係
$f(v)\ =\ v^2\ +\ 4\sqrt{3}v\ –\ 15$

$f(v) = v^2+4\sqrt{3}v – 15$

這裡，我們需要求出 f(v) 的零點。

為了求出 f(v) 的零點，我們需要令 $f(v)=0$。

這意味著：

$v^2+4\sqrt{3}v – 15= 0$

$v^2+5\sqrt{3}v -\sqrt{3}v– 15= 0$

$v(v+5\sqrt{3})-\sqrt{3}(v+5\sqrt{3})= 0$

$(v+5\sqrt{3})(v-\sqrt{3}) = 0$

$v+5\sqrt{3}=0$ 以及 $v-\sqrt{3}=0$

$v = -5\sqrt{3}$ 以及 $v = \sqrt{3}$

因此，二次方程 $f(v) = v^2+4\sqrt{3}v – 15$ 的零點是 $-5\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$。

驗證

我們知道：

零點之和 $= -\frac{v 的係數}{v^2 的係數}$

                       $= –\frac{4\sqrt{3}}{1}$

                       $=-4\sqrt{3}$

$f(v)$ 的零點之和為 $-5\sqrt{3}+\sqrt{3}=-4\sqrt{3}$。

根的積 $= \frac{常數項}{x^2 的係數}$

                            $=\frac{-15}{1}$

                            $= -15$

$f(v)$ 的根的積為 $-5\sqrt{3}\times \sqrt{3}=-15$。

因此，零點與其係數之間的關係得到驗證。