求解以下二次多項式的零點，並驗證零點與其係數之間的關係

$g(s)\ =\ 4s^2\ –\ 4s\ +\ 1$

$g(s) = 4s^2 – 4s+1$

這裡，我們需要求解 g(s) 的零點。

為了求解 g(s) 的零點，我們需要令 $g(s)=0$。

這意味著，

$4s^2 – 4s +1 = 0$

$4s^2 – 2s -2s +1 = 0$

$2s(s – 1) -1(2s – 1) = 0$

$(2s – 1)(2s- 1) = 0$

$2s-1=0$ 和 $2s-1=0$

$2s= 1$ 和 $2s= 1$

$s=\frac{1}{2}$ 和 $s=\frac{1}{2}$

因此，二次方程 $g(s) = 4s^2 – 4s +1$ 的零點是 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{2}$。

驗證

我們知道，

零點之和 $= -\frac{s 的係數}{s^2 的係數}$

                       $= –\frac{(-4)}{4}$

                       $=1$

$g(s)$ 的零點之和 $=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$

根的積 $= \frac{常數項}{s^2 的係數}$

                            $= \frac{1}{4}$

$g(s)$ 的根的積 $=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2} =\frac{1}{4}$

因此，零點與其係數之間的關係得到驗證。